팁 1 : 함수의 그래디언트를 찾는 법

과학

팁 1 : 함수의 그래디언트를 찾는 법

기울기 기능 벡터 양이며, 그 결정은 함수의 편도 함수의 결정과 관련됩니다. 그래디언트의 방향은 스칼라 필드의 한 지점에서 다른 지점으로의 함수의 가파른 성장 경로를 나타냅니다.

지침

함수의 그래디언트 문제를 해결하려면미적분학의 방법, 즉 세 변수의 1 차항의 부분 미분의 결정이 사용됩니다. 여기에서 함수 자체와 모든 부분 파생 값은 함수 정의 영역에서 연속성을 갖는 속성이라고 가정합니다.

그라디언트는 방향이함수 F의 최대 급격한 증가 방향을 나타냅니다.이 경우 그래프의 두 점 M0 및 M1이 벡터의 끝 부분으로 선택됩니다. 그래디언트의 크기는 점 M0에서 점 M1으로 함수가 증가하는 비율과 같습니다.

이 기능은이 모든 지점에서 차별화됩니다.벡터이므로 모든 부분 도함수는 좌표 축에 벡터를 투영 한 것입니다. 그래디언트 공식은 다음과 같습니다 : grad = (∂F / ∂x) • i + (∂F / ∂y) • j + (∂F / ∂z) • k 여기서 i, j, k는 단위 벡터의 좌표입니다. 즉, 함수의 기울기는 좌표가 부분 미분 F = (∂F / ∂x, ∂F / ∂y, ∂F / ∂z) 인 벡터입니다.

예제 1. 함수 F = sin (x • z²) / y를 주어라. 점 (π / 6, 1/4, 1)에서 기울기를 찾아야합니다.

솔루션 : 각 변수에 대해 편미분을 정의하십시오 : F'_x = 1 / y • cos (x • z²) • z²; F'_y = sin (x • z²) • (-1) • 1 / (y²) _z = 1 / y • cos (x • z²) • 2 • x • z.

점의 좌표 값을 다음과 같이 대입합니다. F'_x = 4 • cos (π / 6) = 2 • √3; F'_y = sin (π / 6) · (-1) · 16 = -8; F'_z = 4 · cos (π / 6) · 2 · π / 6 = 2 · π / √3.

함수의 그래디언트 수식을 적용합니다 : gradd F = 2 • √3 • i - 8 • j + 2 • π / √3 • k.

예제 2. 점 (1, 2, 1)에서 함수 F = y • arrtg (z / x)의 그래디언트 좌표를 찾으십시오.

해결책.(-z / x2) = -y (z / x) 2 (z / x) • arctg (z / x) = arctg 1 = π / 4; F'_z = 0 • arcsg (z / x) (1 / (z / x) 2) · 1 / x = y / (x · (1 / (z / x) 2) )) = 1.grdd = (-1, π / 4, 1)이다.

팁 2 : 스칼라 필드의 그래디언트를 찾는 방법

스칼라 필드의 그래디언트는 벡터 양입니다. 따라서이를 찾기 위해서는 스칼라 필드 분포에 대한 지식부터 시작하여 해당 벡터의 모든 구성 요소를 결정해야합니다.

지침

더 높은 수학에 관한 교재를 읽으십시오.스칼라 필드의 그래디언트입니다. 알려진 바와 같이,이 벡터 양은 스칼라 함수의 최대 감소율을 특징으로하는 방향을 갖는다. 주어진 벡터 양에 대한이 감각은 그 성분을 결정하기위한 표현에 의해 정당화된다.

어떤 벡터도 양에 의해 결정된다는 것을 기억하십시오.그 구성 요소. 벡터의 구성 요소는 실제로이 벡터를 하나 또는 다른 좌표축에 투영 한 것입니다. 따라서, 3 차원 공간이 고려된다면, 벡터는 3 개의 구성 요소를 가져야 만한다.

벡터의 구성 요소가 어떻게 결정되는지,어떤 필드의 그라디언트입니다. 이러한 벡터의 각 좌표는 좌표가 계산되는 변수에 대한 스칼라 전위의 미분과 같습니다. 즉, 필드 그래디언트 벡터의 "1x"구성 요소를 계산해야하는 경우 변수 "x"에서 스칼라 함수를 구별해야합니다. 파생 상품은 사적이어야합니다. 즉, 차별화 할 때 참여하지 않는 나머지 변수는 상수로 간주되어야합니다.

스칼라 필드에 대한 표현식을 작성하십시오. 아시다시피,이 용어는 스칼라 수량 인 여러 변수의 스칼라 함수만을 의미합니다. 스. 라 함수의 변수 수는 공간의 차원에 의해 제한됩니다.

별개의 스칼라 함수를 다음과 같이 나눈다.각 변수. 결과적으로 세 가지 새로운 기능을 사용할 수 있습니다. 스칼라 필드의 그라데이션 벡터 표현식에 각 함수를 작성하십시오. 얻어진 각 함수는 실제로 주어진 좌표의 단위 벡터에 대한 계수입니다. 따라서, 최종 그라디언트 벡터는 미분 함수 형태의 계수를 갖는 다항식처럼 보일 것입니다.

팁 3 : 그라데이션을 찾는 방법

그라데이션 개념과 관련된 문제를 고려할 때 함수는 일반적으로 스칼라 필드로 인식됩니다. 따라서 적절한 표기법을 도입 할 필요가 있습니다.

너는 필요할거야.

- 붐;
- 손잡이.

지침

함수를 세 개의 인수 u = f (x,y, z). 예를 들어 x와 관련하여 함수의 편미분은이 인수와 관련하여 나머지 인수로 얻은 파생 값으로 정의됩니다. 나머지 인수는 유사합니다. 부분 파생어의 표기법은 df / dx = u'x ... 형식으로 작성됩니다.

총 차이는 du = (df / dx) dx +(df / dy) dy + (df / dz) dz 부분 도함수는 좌표축 방향의 미분으로 이해할 수있다. 그러므로 점 M (x, y, z)에서 주어진 벡터 s의 방향에 대해 미분을 찾는 문제가 생깁니다 (방향 s가 단위 벡터 - 단위 벡터 s ^ o를 지정한다는 것을 잊지 마십시오). 이 경우 인수 {dx, dy, dz} = {dscos (alpha), dsos (beta), dsos (gamma)}의 벡터 차등입니다.

합계 차액의 형태를 고려하여,(dy / ds) | M = (df / dx) | M) cos (α) + ((df / dy) | M) cos (β)로 나타낼 수있다. s = s (sx, sy, sz)이면 방향 코사인 {cos (alpha), cos (beta), cos (gamma)}이 계산된다. 1a).

방향과 관련한 파생물의 정의.(dy / ds) = ({df / dx, df / dy, df / dz}, {cos (α), cos (beta), cos (gamma)}) = (grad u, s ^ o). 이 식은 스칼라 필드에 유효합니다. 만약 우리가 단순히 함수를 고려한다면, gradf는 부분 미분 f (x, y, z)와 일치하는 좌표를 가진 벡터이다 .gradf (x, y, z) = {{df / dx, df / dy, df / dz} =) = (df / dx) i + (df / dy) j + (df / dz) 여기서 (i, j, k)는 직각 좌표계의 좌표축의 단위 벡터이다.

차동을 사용하는 경우벡터 해밀 토니안 연산자 인 경우 gradf는이 연산자 벡터에 스칼라 f (그림 1b 참조)를 곱한 값으로 쓸 수 있습니다. 방향에 대한 연결 gradf c의 관점에서 볼 때이 벡터가 직교하면 등호성 (gradf, s ^ o) = 0이 가능합니다. 따라서 gradf는 종종 스칼라 필드에서 가장 빠른 변화의 방향으로 정의됩니다. 그리고 차동 연산의 관점에서 (gradf 중 하나), gradf의 속성은 함수의 차동 특성을 정확하게 반복합니다. 특히 f = uv이면 gradf = (vgradu + u gradv).

팁 4 : 그라디언트 그리는 법

기울기 한 색상을 다른 색상으로 자연스럽게 전환하여 윤곽 채우기를 수행하는 그래픽 편집기의 도구입니다. 기울기 윤곽에 볼륨 효과를주고 시뮬레이션 할 수있다.조명, 물체 표면의 빛의 번쩍임 또는 사진 배경의 일몰 효과. 이 도구는 널리 사용되므로 사진을 처리하거나 그림을 만드는 데이 도구를 사용하는 방법을 배우는 것이 매우 중요합니다.

너는 필요할거야.

컴퓨터, 그래픽 편집기 Adobe Photoshop, Corel Draw, Paint.Net 또는 기타.

지침

프로그램에서 이미지를 열거 나 새 이미지를 만듭니다. 이미지에서 경로를 만들거나 원하는 영역을 선택하십시오.

툴바에서 그라데이션 도구를 켭니다.그래픽 편집기의 도구. 그라디언트의 첫 번째 색상이 시작되는 선택된 영역 또는 외곽선 안의 점 위에 마우스 커서를 놓습니다. 마우스 왼쪽 버튼을 누르고 계십시오. 그라디언트가 마지막 색으로 가야하는 지점으로 커서를 이동하십시오. 마우스 왼쪽 버튼을 놓습니다. 선택한 경로가 채우기에 그라데이션을 채 웁니다.

기울기투명도, 색상 및 색상을 지정할 수 있습니다.쏟아지는 어떤 시점에서의 비율. 이렇게하려면 그라데이션을 편집 할 창을 엽니 다. Photoshop에서 편집 창을 열려면 "옵션"패널에서 그라디언트 샘플을 클릭하십시오.

열린 창에서 예제의 형태로 그라데이션 채우기에 사용할 수있는 옵션이 표시됩니다. 옵션 중 하나를 편집하려면 마우스를 클릭하여 선택하십시오.

창 하단에 샘플이 표시됩니다.슬라이더가 위치하는 넓은 스케일의 형태의 그레디언트. 슬라이더는 그라디언트가 지정된 특성을 가져야하는 점을 나타내며 슬라이더 사이의 간격에서 첫 번째 점에 지정된 두 번째 점에서 색상이 균일하게 전달됩니다.

상단에있는 슬라이더비율은 그라디언트의 투명도를 설정합니다. 투명도를 변경하려면 원하는 슬라이더를 클릭하십시오. 비율 아래에는 원하는 투명도를 퍼센트로 입력하는 필드가 나타납니다.

눈금의 아래쪽에있는 슬라이더는 그라디언트 색상을 지정합니다. 그 중 하나를 클릭하면 원하는 색상을 선택할 수 있습니다.

기울기 여러 가지 전환 색상을 가질 수 있습니다. 다른 색상을 지정하려면 - 저울 하단의 여유 공간을 클릭하십시오. 거기에 또 다른 슬라이더가있을 것입니다. 원하는 색상을 지정하십시오. 눈금에는 하나 이상의 점이있는 그라디언트 샘플이 표시됩니다. 마우스 왼쪽 버튼으로 슬라이더를 움직여 원하는 조합을 얻을 수 있습니다.

기울기줄 수있는 몇 가지 유형이 있습니다.모양의 평면 윤곽. 예를 들어, 원에 공 모양을 지정하려면 방사형 그래디언트를 사용하고 원뿔 모양을 그리려면 원추형입니다. 표면에 볼록 함의 환상을주기 위해 미러 그라디언트를 사용할 수 있으며 다이아몬드 모양의 그라디언트를 사용하여 하이라이트를 만들 수 있습니다.